对一道物理竞赛题的物理模型的分析

【关 键 字】 一般物体的平衡  力的作用点  力矩
【摘    要】 对一道高中物理竞赛题目进行分析,发现按照常规的受力分析方法,题目中的物理模型存在固有的矛盾,对正确理解题意造成困惑. 通过改变力的作用点,可以合理地解释题目中物理模型的矛盾,进一步通过物理推导说明了这种解释的合理性.

1 原题及解答
 
 
图1
如图1所示,一个半径为R的均质金属球上固定着一根长为L的轻质细杆,细杆的左端用光滑铰链与墙壁相连,球下边垫上一块木板后,细杆恰好水平,木板下面是光滑的水平面. 由于金属球和木板之间有摩擦(已知动摩擦因数为μ),所以要将木板从球下面向右抽出时,至少需要大小为F的水平拉力.问:现要将木板继续向左插进一些,至少需要多大的水平推力?(用F、R、L、μ表示)
 
此题的解答如下:设向外拉出木板时球体受到木板的摩擦力为f,支持力为N,球的重力为G,轻杆与球组成的系统对转轴O转动平衡,有
 
fR+N(R+L)=G(R+L).
 
(1)
 
球和板之间已经发生相对滑动,球受摩擦为
 
f=μN.
 
(2)
 
由方程(1)、(2)式可解得
 
.
 
再由木板平衡,可得拉力为
 
.
 
同理,如果木板向左插入时,轻杆与球组成的系统对转轴O转动平衡,有
 
f′R+G(R+L)=N′(R+L).
 
(3)
 
f′=μN′.
 
(4)
 
由木板平衡,可得推力为
 
F.
 
2 深入探究
 
从上述求得的结果看,向外拉木板和向里推木板时拉力和推力大小不同,木板与球在竖直方向的作用力也不同,从而轻杆与球在竖直方向的作用力也不相同.题目中的轻杆是典型的轻质模型,则要求轻杆对转轴O的合力矩为0.[1]轻杆会受到球施予的竖直方向的一个作用力,轻杆的合力矩是如何为0的?这个问题在求解本题过程中经常被忽略掉,本文针对这个问题进行讨论. 轻杆是固定在球上而非铰接,故在二者连接处需特殊分析. 为了使本题的物理模型合理,对其进行修正如下:轻杆右端插入球中有一段距离,并且轻杆与球在竖直方向的作用力有两个等效作用点. 在上述修正的基础上,再去分析轻杆和球的平衡问题,来检验修正后的物理模型的合理性.
 
 
图2
当向右抽出木板时,对球进行受力分析如图2所示.图2中所画出的力均是作用在球上的力,且未画出轻杆与球在水平方向的作用力.球和杆在竖直方向的作用力不在同一点上,这样才能保证轻杆对转轴O的合力矩为0.力N1的作用点到转轴O的距离小于力N2的作用点到转轴O的距离,为了保证轻杆处于转动平衡状态,则要求N1>N2.
 
由于轻质杆可给球提供沿水平方向的任何大小的力的作用,则球在水平方向的平衡一定可以满足.球在竖直方向的平衡条件为
 
N1+N=G+N2.
 
(5)
 
对球心C的转动平衡条件为
 
fR+N2d2=N1d1.
 
(6)
 
其中d1、d2分别是球心C到力N1、N2的作用线的距离.由(5)、(6)两个方程可解得
 
,
 
.
 
向右抽出木板时,由球的平衡条件得到N1>N2,这与轻杆处于转动平衡的条件相符合.
 
表达式中f、N的数值已由(1)、(2)方程求出,d1、d2未定. 只要取d2<d1<R,即可得合理的N1、N2的值.
 
 
图3
当向左插入木板时,对球进行受力分析如图3所示.图3中所画出的力均是作用在球上的力,且未画出轻杆与球在水平方向的作用力.为了保证轻杆处于转动平衡状态则要求N1′>N2′.
 
球在竖直方向的平衡条件为
 
N1′+G=N+N2′.
 
(7)
 
对球心C的转动平衡条件为
 
fR+N2′d2′=N1′d1′.
 
(8)
 
其中d1′、d2′分别是球心C到力N1′、N2′的作用线的距离.由(7)、(8)两个方程可解得
 
,
 
.
 
向左插入木板时,由球的平衡条件得到N1′>N2′,这也与轻杆处于转动平衡的条件相符合,并且也可得到合理的N1′、N2′的值.
 
通过上面的分析可知,修正后的物理模型能很好地符合出题意图,这个修正有其合理性. 实际上,无论向右抽出木板还是向左插入木板,球和轻杆相互作用后,轻杆都要发生微小的弯曲形变,弯曲的轻杆与球之间不仅有相互作用力,还有相互作用的力矩,表现在外面的结果就是轻杆有一段插入球中,与球之间力的作用点不唯一.
 
通过改变力的作用点,也可以很好地解释下面一道题目的物理模型中存在的困惑.
 
 
图4
题目.如图4所示,已知物块m1、m2通过轻绳跨在一个固定在桌边的定滑轮上,定滑轮是质量为m,半径为R的匀质的圆盘. m1放在光滑水平面上,连接m1的轻绳处于水平状态且绳连接在m1的中心C的下方,m2处于竖直状态,忽略定滑轮轮轴处的摩擦.求刚释放瞬间m1、m2的加速度.
 
应用由牛顿第二定律和转动定律,很容易得出题目的结果,在本文不再赘述. 通常的受力分析认为,水平桌面施予物体m1的支持力N垂直接触面且通过中心C,如图4所示. 题干中明确说明了水平绳与m1的作用点在中心C的下方,则物体m1受到的力对通过C点的转轴的合力矩不为0,那么m1物体是如何做到不转动的?这个疑问在求解本题过程中经常给解题者带来困惑. 分析物体受到水平桌面支持力时,想当然认为支持力一定过C点这是不合理的. 实际上,m1物体从静止到被拉动的过程中,水平桌面对m1物体的支持力N的作用点从C点的正下方转移到了偏左侧的位置上,在作用点移动的过程中,支持力的大小不改变,如图4中的N′所示. 在支持力、重力和拉力共同作用下,m1物体在竖直方向上处于平衡状态. 对质心C,拉力的力矩和支持力的力矩的矢量和为0,m1物体处于转动平衡状态,所以在m1物体向左加速运动过程中,可以不发生转动.
 
3 小结
 
建立合理的物理模型是高中物理竞赛学习中至关重要的一个环节. 对有些物理竞赛题目,在构建物理模型过程中,如果按照常规的分析方法往往发现物理模型自身存在矛盾,无法进行合理的解释. 遇到这样的问题,应另辟蹊径,寻找科学合理的解释来说明物理模型存在的合理性.
 
参考文献:
 
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【作者机构】 长春吉大附中实验学校
【来    源】 《物理教师》 2017年第5期P96-97页

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